如上所示，仿射變換為兩函數的複合：平移及線性映射。普通向量代數用矩陣乘法呈現線性映射, 用向量加法表示平移。正式言之，於有限維度之例中，假如該線性映射被表示為一矩陣「Ａ」，平移被表示為向量
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
，一仿射映射
f
{\displaystyle f}
可被表示為
y
→
=
f
(
x
→
)
=
A
x
→
+
b
→
.
{\displaystyle {\vec {y}}=f({\vec {x}})=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.}
增廣矩陣
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二維平面上的仿射變換可呈現於三維空間中。平移即為沿著z軸的錯切，旋轉則以z軸為軸心
使用一增廣矩陣與一增廣向量，用一矩陣乘法同時表示平移與線性映射是有可能的。此技術需要所有向量在其末端擴長“1”且所有矩陣都於底部添加一排零，右邊擴長一列轉換向量，及右下角添加一個“1”。
[
y
→
1
]
=
[
A
b
→
0
…
0
1
]
[
x
→
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\vec {y}}\\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\,&A&&{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}{\vec {x}}\\1\end{bmatrix}}}
等價於
y
→
=
A
x
→
+
b
→
.
{\displaystyle {\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.}
以上所言之擴長矩陣被稱為“仿射變換矩陣”，又或稱為“投射變換矩陣”（其可應用於投影轉換)。
此表示法以Kn之半直積與GL(n, k)展示了 所有可逆仿射變換的集合。此為一個於眾函數集結下進行的一個群，被稱為仿射群。
普通矩陣向量乘法總將原點映射至原點，因此無法呈現平移（原點必須映射至其他點）。藉由於所有向量上擴增一座標“1”，我們將原空間映至更高維空間的一個子集合以進行變換。在該空間中，原本之空間佔有了擴長座標一的1的子集合。因此原空間的原點可在(0,0, ... 0, 1)。原空間的平移可藉由更高維度空間的線性轉換來達成（即為錯切變換）。在高維度中的座標即為齊次座標的一例。假如原空間為歐幾里德，則更高維空間為實射影空間。
使用齊次座標的優點為，藉由相對應矩陣之乘積，可將任意數目的仿射變換結合為一。此性質被大量運用於計算機圖形，計算機視覺與機器人學。