文章目录
一、 集合论体系二、 集合表示三、 数集合三、 集合关系1、 包含关系2、 相等关系3、 集合间包含关系性质
一、 集合论体系
集合论体系 :
朴素集合论 : 包含悖论 ; 朴素集合论 中 不能精确定义集合 ;公理集合论 : 为了消除朴素集合论中的悖论 , 所建立的公理集合论 ; 公理集合论比较严密 , 通过一组公理描述什么是集合 ;
二、 集合表示
集合表示 : 使用 大写字母 表示集合 , 小写字母 表示集合中的元素 ;
列举法 : 列举出集合中的所有元素 , 元素之间使用逗号分开 , 使用花括号 “{}” 括起来 ; 如 :
A
=
{
0
,
1
,
2
,
3
}
A = \{0, 1, 2, 3\}
A={0,1,2,3} ,
B
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
⋯
}
B = \{0, 1, 2, 3, \cdots\}
B={0,1,2,3,⋯}
描述法 : 使用 谓词
P
(
x
)
P(x)
P(x) 表示
x
x
x 具有性质
P
P
P , 使用
{
x
∣
P
(
x
)
}
\{x | P(x)\}
{x∣P(x)} 表示具有性质
P
P
P 的集合 ;
P
(
x
)
P(x)
P(x) 表示
x
x
x 是英文字母 ,
{
x
∣
P
(
x
)
}
\{ x | P(x) \}
{x∣P(x)} 表示英文字母集合 ;
P
(
x
)
P(x)
P(x) 表示
x
x
x 是偶数 ,
{
x
∣
P
(
x
)
}
\{ x | P(x) \}
{x∣P(x)} 表示偶数集合 ;
集合表示注意事项 :
不重复 : 集合中 不能有重复元素 ;
无顺序 : 集合中的元素是 无序的 ;
集合表示方法转化 : 集合的表示方法可以互相转化 , 描述法 和 列举法 可以互相转化 ;
表示方法转化示例 :
列举法 :
A
=
{
0
,
2
,
4
,
6
,
⋯
}
A=\{ 0, 2, 4 , 6 , \cdots \}
A={0,2,4,6,⋯}
描述法 :
A
=
{
x
∣
x
≥
0
并
且
x
是
偶
数
}
A = \{ x | x \geq 0 并且 x 是偶数 \}
A={x∣x≥0并且x是偶数}
三、 数集合
自然数集合 :
N
=
{
0
,
1
,
2
,
⋯
}
N = \{ 0, 1 , 2 , \cdots \}
N={0,1,2,⋯}
整数集合 :
Z
=
{
0
,
±
1
,
±
2
,
⋯
}
Z = \{ 0, \pm 1 , \pm 2 , \cdots \}
Z={0,±1,±2,⋯}
有理数集合 :
Q
Q
Q
实数集合 :
R
R
R
复数集合 :
C
C
C
三、 集合关系
集合关系 有 包含关系 , 相等关系 , 另外关系的性质有 自反省 , 反对称性性 , 传递性 ;
1、 包含关系
集合的包含关系 :
描述 :
A
,
B
A, B
A,B 两个集合 , 如果
B
B
B 中的元素 都是
A
A
A 中的元素 , 称
B
B
B 集合 是
A
A
A 集合的 子集 ,
A
A
A 包含
B
B
B ,
B
B
B 包含于
A
A
A ;
记作 :
B
⊆
A
B \subseteq A
B⊆A
符号化形式 :
B
⊆
A
⇔
∀
x
(
x
∈
B
→
x
∈
A
)
B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \to x \in A )
B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A) , 对于所有的对象 , 只要属于
B
B
B 集合 , 就属于
A
A
A 集合 ;
集合的不包含关系 :
描述 : 如果 集合
B
B
B 不是 集合
A
A
A 的子集
记作 :
B
⊈
A
B \not\subseteq A
B⊆A ;
符号化形式 :
B
⊈
A
⇔
∃
x
(
x
∈
B
∧
x
∉
A
)
B \not\subseteq A \Leftrightarrow \exist x ( x \in B \land x \not\in A )
B⊆A⇔∃x(x∈B∧x∈A) , 对于所有的对象 , 存在对象属于
B
B
B 集合 , 不属于
A
A
A 集合 ;
包含示例 :
A
=
1
,
2
,
3
,
4
A = {1, 2, 3, 4}
A=1,2,3,4 ,
B
=
1
,
2
,
3
B = {1, 2, 3}
B=1,2,3 ,
C
=
1
,
2
C = {1, 2}
C=1,2
有
C
⊆
B
C \subseteq B
C⊆B ,
C
⊆
A
C \subseteq A
C⊆A ,
B
⊆
A
B \subseteq A
B⊆A
2、 相等关系
集合的相等关系 :
描述 :
A
,
B
A, B
A,B 两个集合 , 如果
A
A
A 包含
B
B
B , 并且
B
B
B 包含
A
A
A , 则称
A
A
A 与
B
B
B 相等 ;
记作 :
A
=
B
A = B
A=B
符号化表示 :
A
=
B
⇔
∀
x
(
x
∈
B
↔
x
∈
A
)
A = B \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \leftrightarrow x \in A )
A=B⇔∀x(x∈B↔x∈A)
3、 集合间包含关系性质
集合间包含关系性质 : 下面的
A
,
B
,
C
A, B, C
A,B,C 是三个集合 , 以下的命题是真命题 ;
自反性 :
A
⊆
A
A \subseteq A
A⊆A , 集合真包含它自己 ;
反对称性 : 若
A
⊆
B
A \subseteq B
A⊆B 且
B
≠
A
B \not= A
B=A , 则
B
⊈
A
B \not\subseteq A
B⊆A ( 该性质等价于 若
A
⊆
B
A \subseteq B
A⊆B 且
B
⊆
A
B \subseteq A
B⊆A , 则
A
=
B
A = B
A=B )
传递性 : 若
A
⊆
B
A \subseteq B
A⊆B 且
B
⊆
C
B \subseteq C
B⊆C , 则
A
⊆
C
A \subseteq C
A⊆C